Дополнительные условия в краевых задачах теплопроводности (обзор)

Представлен обзор исследований, связанных с использованием дополнительных граничных условий (ДГУ) и дополнительных искомых функций (ДИФ) при получении аналитических решений задач теплопроводности. ДГУ позволяют выполнить уравнение на границах, что приводит к его выполнению и внутри области, исключая непосредственное интегрирование по пространственной координате. ДИФ позволяет сводить уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению, из решения которого находятся собственные числа краевой задачи. Собственные числа в классических методах находятся из решения краевой задачи Штурма–Лиувилля, сформулированной в области пространственной переменной. Следовательно, используемый в настоящей работе метод приводит к другому алгоритму их определения, основанному на решении временно́го дифференциального уравнения, порядок которого определяется числом приближений получаемого решения. В задаче, основанной на определении фронта температурного возмущения, найдена эквивалентность решений параболического и гиперболического уравнений теплопроводности. И, в частности, найдено число приближений, ограничивающих скорость продвижения тепловой волны в решении параболического уравнения до величины, равной ее реальному значению для конкретного материала, при которой она совпадает с решением гиперболического уравнения.