Аналитическое исследование кубатурных формул на сфере в системах компьютерной алгебры

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Задача об отыскании весов и узлов кубартурных формул заданного порядка на единичной сфере, инвариантных относительно групп вращения икосаэдра (задача А.С. Попова) исследуется аналитически в системах компьютерной алгебры. Алгоритм Попова сведения задачи к системе нелинейных уравнений реализован в известной системе компьютерной алгебры Sage. Показано, что в Sage трудности с исследованием полученной системы нелинейных алгебраических уравнений возникают, начиная с порядка аппроксимации, равного 23. Показано также, что задача Попова при таком порядке приводит к полиномиальному идеалу, базис Грёбнера для которого содержит многочлены с экстремально большими целыми коэффициентами, что делает ее весьма трудной для исследования стандартными инструментами, реализованными в Sage. Этот базис найден в нашей системе компьютерной алгебры – GInv, новая версия которой была передана в общественный доступ одним из авторов статьи в 2021 г. Это позволило далее полностью описать множество решений задачи Попова в Sage. Проведено сравнение найденных нами точных решений с решениями, найденными Поповым численно. Обсужден потенциал использования задачи Попова как тестовой задачи для систем, специализирующихся на вычислении базиса Грёбнера. Библ. 19.

Об авторах

Р. Э. Байрамов

РУДН

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Ю. А. Блинков

РУДН; Саратовский гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

И. В. Левичев

РУДН

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

М. Д. Малых

РУДН; ОИЯИ

Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; Россия, 141980, М.о., Дубна

В. С. Мележик

ОИЯИ

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh_md@pfur.ru
Россия, 141980, М.о., Дубна

Список литературы

  1. Popov A.S. The search for the sphere of the best cubature formulae invariant under octahedral group of rotations // Siberian J. of Numer. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. 2002. V. 5. № 4. P. 367–0372.
  2. Popov A.S. The search for the best cubature formulae invariant under the octahedral group of rotations with inversion for a sphere // Siberian J. of Numer. Math. / Sib. Branch of Russ. Acad. of Sci. 2005. V. 8. № 2. P. 143–148.
  3. Popov A.S. Cubature formulas on a sphere invariant under the icosahedral rotation group // Numer. Analys. A-ppl. 2008. V. 1. P. 355–361.
  4. Popov A.S. Cubature Formulas Invariant under the Icosahedral Group of Rotations with Inversion on a Sphere // Numer. Analys. Appl. 2017. V. 10. P. 339–346.
  5. Popov A.S. Cubature formulas on a sphere invariant under the symmetry groups of regular polyhedrons // Siberian Electron. Math. Rep. 2017. V. 14. P. 190–198.
  6. Gräf M., Potts D. Sampling sets and quadrature formulae on the rotation group // Numer. Funct. Anal. and Optimizat. 2009. V. 30. № 7–8. P. 665–688.
  7. Gräf M., Kunis St., Potts D. On the computation of nonnegative quadrature weights on the sphere // Appl. and Comput. Harmonic Anal. 2009. V. 27. № 1. P. 124–132.
  8. Gräf M. Efficient Algorithms for the computation of Optimal Quadrature Points on Riemannian Manifolds : Ph. D. thesis / Manuel Gräf; Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz. Chemnitz, 2013. P. 2.
  9. Melezhik V.S. New method for solving multidimensional scattering problem // J. of Comput. Phys. 1991. V. 92. № 1. P. 67–81. Access mode: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002199919190292S.
  10. Shadmehri S., Saeidian Sh., Melezhik V.S. 2D nondirect product discrete variable representation for Schrödinger equation with nonseparable angular variables // J. of Phys. B: Atomic, Molecular and Optic. Phys. 2020. V. 53. № 8. P. 085001.
  11. Melezhik V.S. Improving efficiency of sympathetic cooling in atom- ion and atom-atom confined collisions // Phys. Rev. A. 2021. May. V. 103. P. 053109. Access mode: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.103.053109.
  12. Cox D., Little J., O’Shea D. Ideals, varieties, and algorithms. 3 ed. Springer, 2007.
  13. Zharkov A.Yu., Blinkov Yu.A. Involution approach to solving systems of algebraic equations // Proceed. of the 1993 Inter. IMACS Symp. on Symbolic Comput. Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille, France, 1993. P. 11–16.
  14. Zharkov A.Yu., Blinkov Yu.A. Solving zero-dimensional involutive systems // Progress in Math. Basel: Birkhauser, 1996. V. 143. P. 389–399.
  15. Blinkov Yu.A. Division and algorithms in the ideal membership problem [Deleniye i algoritmy v zadache o prinadlezhnosti k idealu] // Izvestija Saratovskogo universiteta. 2001. V. 1. № 2. P. 156–167. In Russ.
  16. Apel J. A Gröbner approach to involutive bases // J. of Symbolic Comput. 1995. V. 19. № 5. P. 441–458.
  17. McCarthy J. Recursive functions of symbolic expressions and their computation by machine, Part I // Communicat. of ACM. 1960. V. 3. № 4. P. 184–195.
  18. Jones R., Hosking A., Moss J., Eliot B. The garbage collection handbook: the a of automatic memory management. CRC Applied Algorithms and Data Structures Ser. Chapman and Hall / CRC Press / Taylor & Francis Ltd., 2011. ISBN: 978-1-4200-8279-1.
  19. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. M.: Наука, 1989.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Р.Э. Байрамов, Ю.А. Блинков, И.В. Левичев, М.Д. Малых, В.С. Мележик, 2023