К-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРЕДОБУСЛАВЛИВАТЕЛИ НА ОСНОВЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается задача построения предобуславливателей специального вида для решения систем линейных алгебраических уравнений. Предложен новый подход к построению предобуславливателей, основанный на минимизации K-числа обусловленности для матрицы A−1P, где A — исходная матрица системы, P — предобуславливатель. Доказано, что для циркулянтных матриц такой подход эквивалентен построению оптимального циркулянта Чэна для обратной матрицы. Проведены численные эксперименты на серии тестовых задач с тёплицевыми матрицами, показывающие, что предложенный подход позволяет существенно уменьшить число итераций метода сопряженных градиентов по сравнению с классическим подходом. Полученные результаты открывают новые возможности для построения эффективных предобуславливателей в других классах матриц.

Об авторах

И. В Оселедец

Институт искусственного интеллекта (AIRI); Сколковский институт науки и технологий; ИВМ РАН

Email: oseledets@uiri.net
Москва, Россия; Москва, Россия ; Москва, Россия

Е. А Муравлева

Центр AI для науки, Сбербанк; Сколковский институт науки и технологий

Email: EdnaMuravleva@sberbank.ru
Москва, Россия; Москва, Россия

Список литературы

  1. Häusner P., Juscafresa A.N., Sjölund J. Learning incomplete factorization preconditioners for GMRES // arXiv preprint arXiv:2409.08262, 2024.
  2. Häusner P., Öktem O., Sjölund J. Neural incomplete factorization: learning preconditioners for the conjugate gradient method // arXiv preprint arXiv:2305.16368, 2023.
  3. Trifonov V., Rudikov A., Iliev O., Oseledets I., Muravleva E. Learning from linear algebra: A graph neural network approach to preconditioner design for conjugate gradient solvers // arXiv preprint arXiv:2405.15557, 2024.
  4. Katrutsa A., Daulbaev T., Oseledets I. Black-box learning of multigrid parameters // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 368. P. 112524.
  5. Gelfand I. Normierte Ringe // Marew. c6. 1941. Т. 9. № 1. С. 3–24.
  6. Kozyakin V.S. On accuracy of approximation of the spectral radius by the Gelfand formula // Linear Algebra Appl. 2009. V. 431. № 11. Р. 2134–2141.
  7. Hutchinson M.F. Astochastic estimator of the trace of the influence matrix for Laplacian smoothing splines // Comm. Statist. Simulation Comput. 1989. V. 18. № 3. Р. 1059–1076.
  8. Chan R.H.F., Jin X.Q. An introduction to iterative Toeplitz solvers // SIAM, 2007.
  9. Chan T.F. An optimal circulant preconditioner for Toeplitz systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1988. V. 9. № 4. Р. 766–771.
  10. Tyrhyshnikov E.E. Optimal and superoptimal circulant preconditioners // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1992. № 13. № 2. Р. 459–473.
  11. Kaporin I.E. New convergence results and preconditioning strategies for the conjugate gradient method // Numer. Linear Algebra Appl. 1994. V. 1. № 2. P. 179–210.
  12. Kaporin I. Superlinear convergence in minimum residual iterations // Numer. Linear Algebra Appl. 2005. V. 12. № 5–6. P. 453–470.
  13. Kaporin I.E. Preconditioning of the method of conjugate gradients for solving discrete analogues of differential problems // Differ. Uravn. 1990. V. 26. № 7. P. 1225–1236.
  14. Serra Capizzano S., Tyryshnikov E.E. Any circulant-like preconditioner for multilevel matrices is not superlinear // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2000. V. 21. № 2. P. 431–439.
  15. Kanopuu H.E. Использование полиномов Чебышёва и приближенного обратного треугольного разложения для предобусловливания метода сопряженных градиентов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 2. С. 179–204.
  16. Kanopuu H.E., Munoocoa O.IO. Неполное обратное треугольное разложение в параллельных алгоритмах предобусловленного метода сопряженных градиентов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2017. С. 37–28.
  17. Oseledets I., Tyryshnikov E. A unifying approach to the construction of circulant preconditioners // Linear Algebra Appl. 2006. V. 418. № 2–3. P. 435–449.
  18. Tilli P. A note on the spectral distribution of Toeplitz matrices // Linear Multilinear Algebra. 1998. V. 45. № 2–3. P. 147–159.
  19. Tyryshnikov E.E. A unifying approach to some old and new theorems on distribution and clustering // Linear Algebra Appl. 1996. V. 232. P. 1–43.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025