Environmental Dynamics and Global Climate ChangeEnvironmental Dynamics and Global Climate ChangeEnvironmental Dynamics and Global Climate Change2218-44222541-9307Yugra State University1048310.17816/edgcc10483Theoretical worksТеоретические работыResearch ArticleDelay differential equations as a tool for mathematical modelling of population dynamicДифференциальные уравнения с запаздыванием как математические модели динамики популяцийGlagolevMikhail V.ГлаголевМихаил В.
Russian Federation
m_glagolev@mail.comSabrekovAleksandr F.СабрековАлександр Фаритовичsabrekovaf@gmail.comGoncharovVladimir M.ГончаровВладимир Михайловичm_glagolev@mail.comLomonosov Moscow State UniversityФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"Yugra State UniversityФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Югорский государственный университет"Tomsk State UniversityФедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет"Institute of Forest Science of the Russian Academy of SciencesФедеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт лесоведения" Российской академии наукWater Problems Institute of the Russian Academy of SciencesФедеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт водных проблем Российской академии наукMoscow State UniversityФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"2606201892406319112018Copyright ©; 2018, Glagolev M.V., Sabrekov A.F., Goncharov V.M.Copyright ©; 2018, Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Гончаров В.М.2018Glagolev M.V., Sabrekov A.F., Goncharov V.M.Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Гончаров В.М.http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0https://edgccjournal.org/EDGCC/article/view/10483

The manuscript constitutes a lecture from a course “Mathematical modelling of biological processes”, adapted to the format of the journal paper. This course of lectures is held by one of authors in Ugra State University.

Delay differential equations are widely used in different ecological and biological problems. It has to do with the fact that delay differential equations are able to take into account that different biological processes depend not only on the state of the system at the moment but on the state of the system in previous moments too. The most popular case of using delay differential equations in biology is modelling in population ecology (including the modelling of several interacting populations dynamic, for example, in predator-prey system). Also delay differential equations are considered in demography, immunology, epidemiology, molecular biology (to provide mathematical description of regulatory mechanisms in a cell functioning and division), physiology as well as for modelling certain important production processes (for example, in agriculture).

In the beginning of the paper as introduction some basic concepts of differential difference equation theory (delay differential equations are specific type of differential difference equations) is considered and their classification is presented. Then it is discussed in more detail how such an important equations of population dynamic as Maltus equation and logistic (Verhulst-Pearl) equation are transformed into corresponsive delay differential equations – Goudriaan-Roermund and Hutchinson.

Then several discussion questions on using of a delay differential equations in biological models are considered. It is noted that in a certain cases using of a delay differential equations lead to an incorrect behavior from the point of view of common sense. Namely solution of Goudriaan-Roermund equation with harvesting, stopped when all species were harvested, shows that spontaneous generation takes place in the system.

This incorrect interpretation has to do with the fact that delay differential equations are used to simplify considered models (that are usually are systems of ordinary differential equations). Using of integro-differential equations could be more appropriate because in these equations background could be taken into account in a more natural way. It is shown that Hutchinson equation can be obtained by simplification of Volterra integral equation with a help of Diraq delta function.

Finally, a few questions of analytical and numerical solution of delay differential equations are discussed.

Данная работа представляет собой адаптированную к формату журнальной статьи часть лекции курса «Математическое моделирование биологических процессов», читавшегося одним из авторов в Югорском государственном университете. В ней дается краткий обзор математических моделей, использующих аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наиболее подробно рассматриваются модели этого типа, описывающие популяционную динамику. Показано, что часто модели с запаздыванием приводят к решениям, лишенным биологического смысла.

biological kineticstime-delay systemsdifferential-difference equations.биологическая кинетикауравнения с отклоняющимся аргументомдифференциально-разностные уравнения.Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. 2017. Распространение волн в задаче Колмогорова-Петровского-Пискунова с запаздыванием // Доклады Академии наук. Т. 477. № 1. С. 16-21.Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. 2005. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург. 1104 с.Бабский В.Г., Мышкис А.Д. 1983. Дополнение: Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. С. 383-394.Базыкин А.Д., Березовская Ф.С., Буриев Т.И. 1980. Динамика системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции // Молчанов А.М., Базыкин А.Д. (ред.). Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦ био. исследований. С. 6-33.Башалханов И.А., Палкин Ю.Ф., Щербатюк А.С., Янькова Л.С., Русакова Л.В., Буряков Б.М. 1988. Модель развития агрокультуры в регулируемых условиях // Приложение математических моделей к анализу эколого-экономических систем / Под ред. И.А. Башалханова и В.А. Батурина. Новосибирск: Наука. С. 178-185.Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. 2010. Динамические системы и модели в биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ. 400 с.Бурд В.Ш. 1985. О математическом моделировании динамики численности сообщества хищник-жертва // «Математические и вычислительные методы в биологии»: Тезисы докладов Всесоюзного семинара (18-21 сентября 1985 г., Пущино) / Под ред. В.Н. Буравцева. Пущино: ОНТИ НЦ био. исследований АН СССР. С. 38-39.Буриев Т.И., Розет И.Г. 1985. Возникновение стохастических режимов в обобщенных моделях Лотка-Вольтерра // «Математические и вычислительные методы в биологии»: Тезисы докладов Всесоюзного семинара (18-21 сентября 1985 г., Пущино) / Под ред. В.Н. Буравцева. Пущино: ОНТИ НЦ био. исследований АН СССР. С. 25-26.Вольтерра В. 1976. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 288 с.Галкин Л.М., Москаленко А.И., Конторин В.В. (ред.). 1981. Динамика эколого-экономических систем. Новосибирск: Наука.Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Фаустова Е.В., Марфенина О.Е. 2016. Моделирование динамики концентрации грибного аэрозоля в приземном слое атмосферы: I. Основные процессы и уравнения // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 7. № 2 (14). С. 85-102.Глаголев М.В., Лапина Л.Э. 2012. Упрощение модели экосистемы на основе анализа характерных скоростей процессов // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 3. № 3. С. 3-30.Глаголев М.В., Фастовец И.А. 2012. Апология редукционизма (редукционизм – как мировоззренческая основа математического моделирования) // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 3. № 2 (6). С. 1-24.Горбенко Ю.А., Крышев И.И. 1985. Статистический анализ динамики морской экосистемы микроорганизмов. Киев: Наукова думка. 144 с.Дорофеев А.Г., Глаголев М.В., Бондаренко Т.Ф., Паников Н.С. 1992. Необычная кинетика роста Arthrobacter globiformis и ее объяснение // Микробиология. Т. 61. №1. С. 33-42.Дьяконов В.П. 2008. MATLAB 7.*/R2006/R2007. Самоучитель. М.: ДМК Пресс. 768 с.Жирмунский А.В., Кузьмин В.И. 1990. Критические уровни в развитии природных систем. Л.: Наука. 223 с.Заславский Б.Г., Полуэктов Р.А. 1988. Управление экологическими системами. М.: Наука. 296 с.Зинченко А.В. 2017. Модель гумификации и минерализции органических веществ в почве и ее использование для расчета составляющих углеродного баланса болотных экосистем // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 8. № 2. С. 3-17.Казакова Н.Л. 1993. Аналитические методы построения управлений, гарантирующих равновесное состояние системы // Моделирование природных систем и задачи оптимального управления / Петросян Л.А., Мазалов В.В. (ред.). Новосибирск: Наука. С. 74-78.Кащенко С.А. 2017. О Бифуркациях при малых возмущениях в логистическом уравнении с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. Т. 24. № 2. С. 168-185.Кащенко С.А. 2017а. Периодические решения нелинейных уравнений, обобщающие логистическое уравнений с запаздыванием // Математические заметки. Т. 102. № 2. С. 216-230.Колесов Ю.С., Швитра Д.И. 1979. Исследование двухчастотных колебаний в задаче «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» // Дифференциальные уравнения и их применение. № 24. С. 49.Колесов Ю.С. 2001. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии // Известия Российской академии наук. Серия математическая. Т. 65. № 4. С. 111-132.Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. 1980. Численное исследование одной системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // Молчанов А.М., Базыкин А.Д. (ред.). Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦ био. исследований. С. 54-62.Корзухин М.Д., Семевский Ф.Н. 1992. Синэкология леса. СПб.: Гидрометеоиздат. С. 118.Косолапова Л.Г., Ковров Б.Г. 1988. Эволюция популяций. Дискретное математическое моделирование. Новосибирск: Наука. 93 с.Кохановский В.П., Лешкевич Т.Г., Матяш Т.П., Фатхи Т.Б. 2007. Основы философии науки. Ростов н/Д.:Феникс. 608с.Кузнецов В.И., Козлов Н.И., Хомяков П.М. 2005. Математическое моделирование эволюции леса для целей управления лесным хозяйством. М.: ЛЕНАНД. 232 с.Марри Дж. 1983. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. 400 с.Марчук Г.И. 1991. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука. 304 с.Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. 1979. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа. 248 с.Мышкис А.Д. 1972. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 352 с.Мэрди Дж. 1979. Модели популяций // Эндрюс Дж., Мак-Лоун Г. (ред.). Математическое моделирование. М.: Мир. С. 109-127.Мюррей Д. 2009. Математическая биология. Том 1. Введение. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных исследований. 776 с.Мюррей Д. 2011. Математическая биология. Том 2. Пространственные модели и их приложения в биомедицине. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский ин-т компьютерных исследований. 1104 с.Никонов А.П. 2012. Формула бессмертия. На пути к неизбежному. М.: ЭНАС; СПб.: Питер. 720 с.Норкин С.Б. 1965. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 356 с.Орлов Д.С., Минько О.И., Аммосова Я.М., Каспаров С.В., Глаголев М.В. 1987. Методы исследования газовой функции почвы // Воронин А.Д., Орлов Д.С. (ред.). Современные физические и химические методы исследования почв. М.: Изд-во МГУ. C. 118-156.Пинни Э. 1961. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ.Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. 1980. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат.Пэнтл Р. 1979. Методы системного анализа окружающей среды. М.: Мир.Ризниченко Г.Ю. 2016. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии. М.: Юрайт. 183 с.Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. 1975. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука. 344 с.Романюха А.А. 2012. Математические модели в иммунологии и эпидемиологии инфекционных заболеваний. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 293 с.Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. 1987. Кинетика биологических процессов. М.: Изд-во МГУ. 304 с.Свирежев Ю.М. 1987. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука. 368 с.Смит Дж.М. 1976. Модели в экологии. М.: Мир.Смит Дж. 2005. Математические идеи в биологии. М.: Мир. 176 с.Солодов А.В., Солодова Е.А. 1980. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука. 384 с.Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. 1990. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 512 с.Хейл Дж. 1984. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 421 с.Хидиров Б.Н. 2014. Избранные работы по математическому моделированию регуляторики живых систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 304 с.Холл Дж., Уатт Дж. (ред.) 1979. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир.Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. 1985. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 280 с.Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. 2009. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB. СПб.: Лань. 304 с.Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. 1971. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 296 с.Bazin M.J. 1981. Mixed Culture Kinetics // Bushell M.E., Slater J.H. (eds). Mixed Culture Fermetations. London etc.: Academic Press. P. 25-51.Bellen A., Zennaro M. 2013. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Oxford: Oxford University Press.Fall C.P., Marland E.S., Wagner J.M., Tyson J.J. 2002. Computational Cell Biology. New York etc.: Springer-Verlag.Goudriaan J., van Roermund H.J.W. 1993. Modelling of ageing, development, delays and dispersion // On systems analysis and simulation of ecological processes: with examples in CSMP and Fortran / Leffelaar P.A. (ed.). Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers. P. 89-126.Kolesov A., Mishchenko E., Kolesov Yu. 2010. A Modification of Hutchinson’s Equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. № 12. С. 1990.Leffelaar P.A. (ed.) 1993. On systems analysis and simulation of ecological processes: with examples in CSMP and Fortran. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers.Panikov N.S., Blagodatsky S.A., Blagodatskaya J.V., Glagolev M.V. 1992. Determination of microbial mineralization activity in soil by modified Wright and Hobbie method // Biology and Fertility of Soils. V. 14. № 4. P. 280-287.Shoemaker C.A. 1977. Mathematical Construction of Ecological Models // Ecosystem Modeling in Theory and Practice: An Introduction with Case Histories / Hall C.A.S., Day J.W., Jr. (eds.). New York etc.: JOHN WILEY & SONS. P. 5-36.