


Том 64, № 3 (2024)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Точная формула для решения вырожденных систем квадратичных уравнений
Аннотация
Рассматривается система нелинейных уравнений вида F(x) = 0n, где отображение F квадратичное, действующее из . При этом производная F' в решении вырождена, что является одним из главных характеристических свойств нелинейности отображения. На основе конструкций теории p-регулярности предложен 2-фактор метод решения этой системы, который сходится с квадратичной скоростью. Более того, получена точная формула для решения данной системы квадратичных уравнений в случае 2-регулярности отображения F. Библ. 7.



Численная схема с экспоненциальной сходимостью для функции тока потенциального обтекания тел с осевой симметрией
Аннотация
Рассматривается численная схема метода граничных элементов для задачи потенциального обтекания осесимметричных торообразных тел. Выводится интегральное уравнение для распределения скорости на теле. Показывается экспоненциальная сходимость численной схемы решения рассматриваемого уравнения. Библ.17. Фиг.6. Табл.2.



ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
О построении оптимальной сети точек наблюдений при решении обратных линейных задач гравиметрии и магнитометрии
Аннотация
В статье рассматривается вопрос об однозначной разрешимости систем линейных алгебраических уравнений, к решению которых сводятся многие обратные задачи геофизики в результате дискретизации после применения метода интегральных уравнений или интегральных представлений. Приводятся примеры вырожденных и невырожденных систем разных размерностей, возникающих при обработке магнитометрических и гравиметрических данных экспериментальных наблюдений. Делаются выводы о способах построения оптимальной сетки точек экспериментальных наблюдений. Библ. 14.Фиг. 2.



Алгоритмы оптимизации систем с многоэкстремальными функционалами
Аннотация
Рассматривается проблема минимизации (максимизации) многоэкстремальных функционалов (бесконечномерная оптимизация). Традиционными градиентными методами такая задача не решается. Предлагаются новые градиентные методы с адаптивной релаксацией шагов в окрестности локальных экстремумов. Работоспособность и эффективность предложенных методов демонстрируется на примере оптимизации формы сопла гидропушки по целевому функционалу в виде средней силы действия импульса струи на преграду. Было найдено два локальных максимума, второй из которых — глобальный, в нем значение средней силы импульса струи в 3 раза выше первого. Соответствующая форма сопла является оптимальной. Традиционные градиентные методы не позволили выявить ни одного максимума, т.е. не смогли решить поставленную задачу. Библ. 10. Фиг. 4.



ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача Штурма–Лиувилля для одномерного термоупругого оператора в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат
Аннотация
Рассматривается вопрос о построении собственных функций одномерного термоупругого оператора в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Для постановки соответствующей задачи Штурма–Лиувилля используется метод разделения переменных Фурье, примененный к связанной системе уравнений термоупругости с учетом конечной скорости распространения тепловых потоков. Показано, что собственные функции одномерного термоупругого оператора выражаются через известные тригонометрические, цилиндрические и сферические функции. Но при этом задачи связанной термоупругости решаются аналитически только при определенных граничных условиях, вид которых определяется свойствами собственных функций. Библ. 40. Табл. 1.



УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
О единственности решения интегрального уравнения Лаврентьева в n-мерном пространстве
Аннотация
Изучается многомерный аналог интегрального уравнения М.М. Лаврентьева, к которому приводится обратная задача акустического зондирования. Устанавливаются условия единственности решения изучаемого уравнения. Также приводятся результаты численных экспериментов по решению обратной задачи акустики с различными расположениями отрезка источников и прямоугольника детекторов акустических волн. Библ. 27. Фиг. 4. Табл. 2.



МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Кинетическая модель для описания трехкомпонентной плазмы
Аннотация
В данной работе построена система кинетических уравнений для изучения процессов, происходящих в трехкомпонентной плазме. Построенная модель является аналогом модели Крука, которая широко используется в динамике разреженных газов. Предложенную модель предполагается использовать для изучения процессов, происходящих в каналах электроракетных двигателей. Библ. 10.



О вероятностно-статистическом подходе к анализу параметров нелокальности плотности плазмы
Аннотация
В работе исследуется выборка значений плотности плазмы термоядерной установки. Получена методология обработки экспериментальных данных, позволяющая установить соответствие между упомянутой выборкой и моделью нестационарного шума. Эта модель формируется как свертка стационарной последовательности и функции памяти и позволяет моделировать конкуренцию пространственной и временной нелокальности. Представлена физическая интерпретация параметров нелокальности. Библ. 26. Фиг. 2. Табл. 5.



Алгоритмы решения обратной задачи рассеяния для модели Манакова
Аннотация
Рассматриваются алгоритмы решения обратных задач рассеяния, основанные на дискретизации интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко, ассоциированных с системой нелинейных уравнений Шрёдингера модели Манакова. Численный алгоритм решения задачи рассеяния, первого порядка точности аппроксимации, сводится к обращению ряда вложенных друг в друга блочно-тёплицевых матриц с помощью метода окаймления типа Левинсона. Повышение точности аппроксимации нарушает тёплицеву структуру блочных матриц. Описаны два алгоритма, решающие эту проблему для второго порядка точности. В одном алгоритме используется блочный вариант алгоритма окаймления Левинсона, восстанавливающий тёплицеву структуру матрицы, путем переноса некоторых слагаемых систем уравнений в правую часть. Другой алгоритм основан на тёплицевом разложении матрицы, близкой к блочно-тёплицевой, и алгоритме окаймления Тыртышникова. На примере точного решения (векторного солитона Манакова) приводятся результаты сравнения скорости и точности расчетов представленных алгоритмов. Библ. 20. Фиг. 1.



Расчет возмущения слоя плазмы электрическим полем
Аннотация
Представлены результаты решения краевой задачи для системы двух интегродифференциальных уравнений, моделирующей воздействие внешнего электрического поля на слой плазмы. Такая система является следствием уравнений Больцмана–Максвелла, а искомые функции имеют физический смысл напряженности самосогласованного электрического поля и возмущения плотности распределения электронов. При построении решения задачи использованы теория преобразования Фурье обобщенных функций и теория сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Исследована зависимость полученного решения от частоты внешнего поля. Библ. 20. Фиг. 17.



Локализация начального условия решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
Аннотация
Рассматривается задача Коши для уравнения теплопроводности c нулевой правой частью. Начальная функция предполагается принадлежащей пространству обобщенных функций медленного роста. Исследуется задача об определении носителя начальной функции по значениям решения в некоторый фиксированный момент времени T > 0. Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы носитель лежал в заданном выпуклом компакте. Эти условия формулируются в терминах скорости убывания решения на бесконечности. Найдена точная константа в экспоненте для гипотезы Ландиса–Олейник о несуществовании сверхбыстро убывающих решений. Библ. 19.



Об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса с малой диффузией в случае многих пространственных переменных
Аннотация
Строится формальное асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения переноса с малыми нелинейностями и диффузией в случае многих пространственных переменных. При принятых на данные задачи условиях, главный член асимптотики описывается многомерным обобщенным уравнением Бюргерса–Кортевега–де Фриза. При выполнении ряда условий приведена оценка остаточного члена по невязке. Библ. 8.



Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических волн, отраженных от береговой линии
Аннотация
Рассматривается вариационный способ решения задачи об отражении лучевых характеристик длинных океанических волн от береговой линии с заданными положениями источника и точки регистрации волны. Показано, что исходная краевая задача может быть сведена к расчету стационарных точек функционала времени распространения волны вдоль луча. Информация о целевой функции в области решений траекторной задачи позволяет построить систематическую процедуру поиска минимумов, седловых точек и максимумов. Особенностью предложенного подхода является оптимизация точки отражения луча вдоль заданной береговой линии. Библ. 19. Фиг. 5. Табл. 1.



ИНФОРМАТИКА
Интерполяция программного управления по целевой точке в задаче о сближении
Аннотация
Для нелинейной управляемой системы рассматривается задача о сближении в фиксированный момент времени, в которой положение целевой точки становится известным только в момент начала движения. Предлагается заблаговременное вычисление узловых разрешающих программных управлений, соответствующих конечному набору целевых точек из множества их возможных положений, и получение уточненного управления для заданной (в момент начала движения) целевой точки методом линейной интерполяции узловых управлений. Процедура конструирования такого разрешающего управления сформулирована в виде двух алгоритмов, один из которых выполняется заблаговременно до начала движения, а второй – непосредственно во время движения системы в режиме реального времени. Получена оценка погрешности перевода состояния системы в целевую точку с помощью сформулированных алгоритмов. В качестве примера рассмотрена задача о сближении модифицированной модели машины Дубипса с целевой точкой, о которой до начала движения известно лишь компактное множество возможных положений. Библ. 30. Фиг. 1.


